運動方程式
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解説
「物体の加速度は加えた力にし、質量にする。」これをニュートンのという。
加速度を a 、質量を m 、力を F 、比例定数を k とすると



質量 1[kg] の物体の加速度が 1[m/s2] になるような力を 1[N] と定義すれば k = 1 とでき



ゆえに

...(1)

この形にしたものを運動方程式という。
(1)式より、物体にはたらく力 F が一定のとき、質量が大きいほど、加速度が小さく、質量が小さいと加速度が大きい。つまり、質量とは「運動状態を変化させにくさ」を表す量である。この意味の質量を慣性質量といい、無重力状態でも通用する概念である。大きい質量のものは、急には動き出せず、動き出したら急には止まれない。このような性質を慣性という。
a が m に反比例する関係をグラフにすると、下図のようになる。

( 参考:加速度 a は速度 v を時間 t で微分したものであり、速度 v は位置 x を時間 t で微分したものだから、a は x の t による2階微分となり、力学の問題は数学的には、(1)の2階微分方程式を解くことに尽きる。運動方程式を2回積分すれば積分定数が2つできる。この定数を物理では初期条件という。初期条件として、はじめの位置と初速度を与えれば、それ以後(以前)のすべての運動が決定する。)

運動方程式の立て方
1)注目物体が受けている力とその向きを矢印を使って、すべて、描き込む。
2)加速度の正の向きに加速度 a を示す矢印を描き込む。
3)求める加速度の方向成分について合力Fを求め、m a = Fに代入する。

質量 m の物体に鉛直上向きに大きさ f の力を加えて、引き上げるときの加速度を a とし、重力加速度の大きさを g とする。
物体にはたらく力を矢印で示すと下図のようになる。

鉛直上向きを加速度や力の正の向きとすると、合力 F は F = f - m gであるから、運動方程式は



よく取り扱われる運動方程式
1.F = 0 のとき
ma = 0 より a = 0
a = 0 つまり、加速しないのだから速度一定。速度 0 で一定の場合が静止である。
これは「合力 F が 0 、すなわち、力がつりあっているとき、物体は静止もしくは等速直線運動を続ける」というニュートンのに他ならない。

(コラム:第二法則 ma = F から第一法則が導かれるのに、なぜ、第一法則があるのだろうか。これは、力が 0 のとき、物体が静止、もしくは、等速直線運動を続けるように見える座標系を最初に選ぶということである。このような座標系を慣性座標系という。1つの慣性座標系があればそれに対して等速直線運動をする座標系も慣性座標系である。地上の静止系は厳密には慣性座標系ではない。地球が自転や公転をしており、太陽も銀河系の中心に対して回っているからである。実際、力を加えないのに、太陽も月も星星も地面に対して回転してみえる。第一法則が成り立っていない。では、完全な慣性座標系はどこにあるのか。宇宙に出て、等速直線運動をする?全宇宙に対して静止している点をまずみつける?。難しそうだ。ところが、実は、きわめて狭い領域になら、簡単に慣性座標系を作り出すことができる。それは、重力に逆らわない運動をする宇宙船の内部だ。これを局所慣性座標系という。)

2.F = 一定のとき
ma = 一定より、a = 一定、すなわち、等加速度運動になる。
「加速度」の項目のところで導いたように、等加速度直線運動の公式は







(参考:数学的には (一定) を t で積分して

・・・(1)

vo は積分定数で、初速度を表す。さらに、



を t で積分して

・・・(2)

xo は積分定数で、t = 0 での位置を表す。x - xo = s(変位)とおけば(2)式は

・・・(2´)

と書ける。(1),(2´)から t を消去すると

・・・(3)

が導かれる。)

3.F = mg - kv のとき
ma = mg - kv 物体が速度 v に比例する抵抗を受けるような場合は、このような運動方程式になる。vが次第に大きくなり、力がつりあって、mg = kv になると、a = 0 となり、等速直線運動にはいる。このときの速度を(terminal velocity)という。

4.F = -kx のとき
ma = -kx これはを表す。(物理2 単振動の項目で学習する。)

5.円運動のとき
a に向心加速度の公式、F に向心力を代入する。(物理2 円運動の項目で学習する。)
学習目標
運動方程式を立てて、加速度を求めることができるようになろう。
下層項目
関連問題