非等速円運動

[分類] 物理II [重要度] 重要 [難易度]

解説

●鉛直面内の円運動

鉛直面内の円運動では重力のために円の接線方向に力がはたらき、円運動の速さが変化する。力学的エネルギー保存側からもわかるように、下方で速く、上方で遅い。下図のように長さ r の軽い糸に質量 m の小球を取り付け、最下点で速さ v_o の初速度を与えて、鉛直面内を円運動させる。このとき、最高点 P を通過するための v_o の条件を求めてみよう。もしこれが糸ではなく針金なら、計算は簡単だ。小球の速さが最高点で 0 に近づいても針金は小球を支えることができるので、ゆっくりでも、最高点を通過できる。よって、v_o の条件は力学的エネルギー保存の法則より

ゆえに、針金の場合

しかし、糸の場合は支える力はないので、最高点をゆっくり通過することはできない。ある速さ以上で通過しないと糸がたるみ、円軌道からはずれてしまう。

　　　

地上の静止系から見る立場で、考えることにする。糸の場合、最高点 P を通過できたとして、そのときの速さを v_p 、糸の張力を T_pとする。点 P での円運動の運動方程式は向心加速度を a 、中心方向の合力を F として

この式に a=v_p²/r , F=mg+T_p を代入して

ゆえに

糸がたるまないためには T_p > 0　であるから

ゆえに

.....(1)

これを v_o の条件に変える。力学的エネルギー保存の法則より

......(2)

(1)式を(2)式に代入して

ゆえに

最高点を通過するためには針金の場合より速い初速が必要なことがわかる。なお、このようなときの条件式には等号は入れても入れなくてもよい。

○一般的解法

鉛直面内での円運動の一般的解法は力学的エネルギー保存の法則の式と円運動の運動方程式を立てることである。下図のように、糸と鉛直線のなす角がθのときの速さを　v 、糸の張力を T とする。