6.4.1 関数の増減と極大・極小
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解説
区間とは何か
a,b を実数とするとき
a < x < b , a ≦ x ≦ b , a < x , x ≦ b
などの不等式を満たす実数 x の集合を,x の区間(interval) という.
関数の増減
単調増加・単調減少
関数 f(x) において,ある区間の任意の値 s,t について
s < t ⇒ f(s) < f(t)
が成り立つとき, f(x) はその区間で単調増加(monotone increasing) するという.
また
s < t ⇒ f(s) > f(t)
が成り立つとき, f(x) はその区間で単調減少(monotone decreasing) するという.

関数 f(x) について,x の値が増加するとき,f(x) の値が増加したり,減少したりする様子は,y = f(x) のグラフが右上がりなのか,右下がりなのかで視覚的に確認できる.

導関数の符号と関数の増加・減少の関係
関数 y = f(x) のグラフ上の点 (a, f(a)) に近い部分では,この関数のグラフはこの点における接線とほぼ一致しているとみなしてよい.接線の傾きは f'(a) で与えることができるので,関数 f(x) の増減は, f'(x) の符号の正負と結びつけて考えることができる.増加する関数 f(x) では,y = f(x) のグラフは下図のようになる.

このとき,このグラフ上の各点での接線は右上がりとなるので,その傾きは常に正の値をとることがわかる.逆に,グラフ上の各点における接線の傾きが正であるならば,その関数は増加していることがわかる.
つまり,ある区間での関数 f(x) とその導関数 f'(x) について
f'(x) > 0 ⇔ f(x) は単調増加
がいえる.
また,下図のように,グラフ上の各点における接線の傾きが負であるならば,その関数は減少していることがわかる.

つまり,ある区間での関数 f(x) とその導関数 f'(x) について
f'(x) < 0 ⇔ f(x) は単調減少
がいえる.
さらにまた,ある区間で常に f'(x) = 0 のとき,y = f(x) のグラフの接線は常に x 軸と平行となる.このとき,グラフ自体も x 軸と平行となり,その区間では f(x) は一定の値をとる.
増減の例
具体的な関数の例として,
2 次関数 f(x) = -x2 + 4x
を考えてみよう.y = f(x) のグラフは
y = -x2 + 4x
= -(x - 2)2 + 4 ← 平方完成した
であるから,頂点の座標は(2, 4) とわかり,下図のようになる.

この図から
i) x < 2 のときは, f(x) は増加
ii) x > 2 のときは, f(x) は減少
ということがわかるが,このことは, f(x) の導関数
f'(x) = -2x + 4
を用いて,次のように理解することもできる.
i) -2x + 4 > 0 つまり,x < 2 のとき
「f'(x) > 0 となるので」, f (x) は増加している.
ii) -2x + 4 < 0 つまり,x > 2 のとき
「f'(x) < 0 となるので」f (x) は減少している.
f'(x) の符号と関数の増加・減少の関係
関数 f(x) の値の増減は, f(x) の導関数 f'(x) を用いて
i) f(x) > 0 となる x の値の範囲では,y の値は増加する
ii) f'(x) < 0 となるx の値の範囲では,y の値は減少する
と判断できる.

これから先扱おうとしている関数は,2 次関数のように簡単に増加・減少のわかるものではない.そのため,この導関数 f'(x) の正・負から,関数の増加・減少を判断できるようにしておかなければならない.
極大・極小とは何か
関数 f(x) の値が x = a を境目として,下図のように増加から減少に変わるとき
f(x) は x = a で極大(maximum) になるといい,f(a) を極大値(muximal value) という.
また,関数 f(x) の値が x = b を境目として,減少から増加に変わるとき
f(x) は x = b で極小(minimum) になるといい,f(b) を極小値(minimal value) という.
極大値と極小値を合わせて極値(extreme value) という.

f'(x) の符号と極大・極小
関数 f(x) について, f'(x) = 0 となる x の値の前後における f(x) の符号が
i) 正から負に変化するとき, f(x) は極大
ii) 負から正に変化するとき, f(x) は極小
となる.

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